Signe des fonctions de la forme x ⟼ a(x-x1)(x-x2)

Rappel

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(\text{I}\) de \(\mathbb{R}\) et \(c\) un élément de \(\text{I}\). On dit que \(c\) est une racine de \(f\) si et seulement si \(f(c)=0\).

Soit \(a\) un nombre réel non nul.

Propriété

Soit \(x_1\) et \(x_2\) deux nombres réels tels que \(x_1<x_2\).

La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) a exactement deux racines : \(x_1\) et \(x_2\).

• Si \(a>0\), alors \(f\) est strictement positive sur \(]-\infty~;x_1[\), strictement négative sur \(]x_1~;x_2[\) et strictement positive sur \(]x_2~;+\infty[\).
• Si \(a<0\), alors \(f\) est strictement négative sur \(]-\infty~;x_1[\), strictement positive sur \(]x_1~;x_2[\) et strictement négative sur \(]x_2~;+\infty[\).
  

Propriété

Soit \(x_0\) un nombre réel. La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=a(x-x_0)^2\) a une unique racine, \(x_0\).

• Si \(a>0\), alors \(f\) est strictement positive sur \(]-\infty~;x_0[\) et sur \(]x_0~;+\infty[\).
• Si \(a<0\), alors \(f\) est strictement négative sur \(]-\infty~;x_0[\) et sur \(]x_0~;+\infty[\).